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ヤコビの三重積等式

\[\prod_{n=1}^\infty = (1-q^n)(1+zq^n)(1+z^{-1}q^{n-1}) = \sum_{n\in \mathbb{Z}} z^m q^{\frac{m^2+m}{2}}.\]

クラインの正二十面体不変式

\[\begin{align} f &=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10}),\\ H &= -(z_1^{20}+z_2^{20}) + 228(z_1^{15}z_2^5-z_1^5z_2^{15}) - 494 z_1^{10}z_2^{10},\\ T &= (z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^5-z_1^5z_2^{25}) - 10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20}). \end{align}\]

インライン数式：\(H^3+T^2=1728f^5\)

ロジャーズ・ラマヌジャンの恒等式

第一恒等式:

\[1+\sum_{n=1}^\infty \frac{q^{n^2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} =\prod_{n=1}\frac{1}{(1-q^{5n-4})(1-q^{5n-1})}.\]

第二恒等式:

\[1+\sum_{n=1}^\infty \frac{q^{n^2+n}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} =\prod_{n=1}\frac{1}{(1-q^{5n-3})(1-q^{5n-2})}.\]